RSA加密算法
该算法于1977年由美国麻省理工学院MIT(Massachusetts Institute of Technology)的Ronal Rivest，Adi Shamir和Len Adleman三位年轻教授提出，并以三人的姓氏Rivest，Shamir和Adlernan命名为RSA算法。该算法利用了数论领域的一个事实，那就是虽然把两个大质数相乘生成一个合数是件十分容易的事情，但要把一个合数分解为两个质数却十分困难。合数分解问题目前仍然是数学领域尚未解决的一大难题，至今没有任何高效的分解方法。与Diffie-Hellman算法相比，RSA算法具有明显的优越性，因为它无须收发双方同时参与加密过程，且非常适合于电子函件系统的加密。

RSA算法可以表述如下：

(1) 密钥配制。假设m是想要传送的报文，现任选两个很大的质数p与q，使得：

(12-1)；

选择正整数e，使得e与(p－1)(q－1)互质；这里(p－1)(q－1)表示二者相乘。再利用辗转相除法，求得d，使得：

(12-2)；

其中x mod y是整数求余运算，其结果是x整除以y后剩余的余数，如5 mod 3 = 2。

这样得：

(e，n)，是用于加密的公共密钥，可以公开出去；以及

(d，n)，是用于解密的专用钥匙，必须保密。

(2) 加密过程。使用(e，n)对明文m进行加密，算法为：

(12-3)；

这里的c即是m加密后的密文。

(3) 解密过程。使用(d，n)对密文c进行解密，算法为：

(12-4)；

求得的m即为对应于密文c的明文。

RSA算法实现起来十分简捷，据说英国的一位程序员只用了3行Perl程序便实现了加密和解密运算。

RSA算法建立在正整数求余运算基础之上，同时还保持了指数运算的性质，这一点我们不难证明。例如：

(12-5)；

(12-6)。

RSA公共密钥加密算法的核心是欧拉(Euler)函数ψ。对于正整数n，ψ(n)定义为小于n且与n互质的正整数的个数。例如ψ(6) = 2，这是因为小于6且与6互质的数有1和5共两个数；再如ψ(7) = 6，这是因为互质数有1，2，3，5，6共6个。

欧拉在公元前300多年就发现了ψ函数的一个十分有趣的性质，那就是对于任意小于n且与n互质的正整数m，总有mψ(n) mod n = 1。例如，5ψ(6) mod 6 = 52 mod 6= 25 mod 6 =1。也就是说，在对n求余的运算下，ψ(n)指数具有周期性。

当n很小时，计算ψ(n)并不难，使用穷举法即可求出；但当n很大时，计算ψ(n)就十分困难了，其运算量与判断n是否为质数的情况相当。不过在特殊情况下，利用ψ函数的两个性质，可以极大地减少运算量。

性质1：如果p是质数，则ψ(p) = (p－1)。

性质2：如果p与q均为质数，则ψ(p·q) = ψ(p)·ψ(q) = (p－1)(q－1)。

RSA算法正是注意到这两条性质来设计公共密钥加密系统的，p与q的乘积n可以作为公共密钥公布出来，而n的因子p和q则包含在专用密钥中，可以用来解密。如果解密需要用到ψ(n)，收信方由于知道因子p和q，可以方便地算出ψ(n) = (p－1)(q－1)。如果窃听者窃得了n，但由于不知道它的因子p与q，则很难求出ψ(n)。这时，窃听者要么强行算出ψ(n)，要么对n进行因数分解求得p与q。然而，我们知道，在大数范围内作合数分解是十分困难的，因此窃密者很难成功。

有了关于ψ函数的认识，我们再来分析RSA算法的工作原理：

(1) 密钥配制。设m是要加密的信息，任选两个大质数p与q，使得 ；选择正整数e，使得e与ψ(n) = (p－1)(q－1)互质。

利用辗转相除法，计算d，使得ed mod ψ(n) = ，即ed = kψ(n) +1，其中k为某一正整数。

公共密钥为(e，n)，其中没有包含任何有关n的因子p和q的信息。

专用密钥为(d，n)，其中d隐含有因子p和q的信息。

(2) 加密过程。使用公式(12-3)对明文m进行加密，得密文c。

(3) 解密过程。使用(d，n)对密文c进行解密，计算过程为：

cd mod n = (me mod n)d mod n

= med mod n

= m(kψ(n) + 1) mod n

= (mkψ(n) mod n)·(m mod n)

= m

m即为从密文c中恢复出来的明文。

例如，假设我们需要加密的明文代码信息为m = 14，则：

选择e = 3，p = 5，q = 11；

计算出n = p·q = 55，(p－1)(q－1) = 40，d = 27；

可以验证：(e·d) mod (p－1)(q－1) = 81 mod 40 = 1；

加密：c = me mod n = 143 mod 55 = 49；

解密：m = cd mod n = 4927 mod 55 = 14。

关于RSA算法，还有几点需要进一步说明：

(1) 之所以要求e与(p－1)(q－1)互质，是为了保证 ed mod (p－1)(q－1)有解。

(2) 实际操作时，通常先选定e，再找出并确定质数p和q，使得计算出d后它们能满足公式(12-3)。常用的e有3和65537，这两个数都是费马序列中的数。费马序列是以17世纪法国数学家费马命名的序列。

(3) 破密者主要通过将n分解成p·q的办法来解密，不过目前还没有办法证明这是唯一的办法，也可能有更有效的方法，因为因数分解问题毕竟是一个不断发展的领域，自从RSA算法发明以来，人们已经发现了不少有效的因数分解方法，在一定程度上降低了破译RSA算法的难度，但至今还没有出现动摇RSA算法根基的方法。

(4) 在RSA算法中，n的长度是控制该算法可靠性的重要因素。目前129位、甚至155位的RSA加密勉强可解，但目前大多数加密程序均采用231、308甚至616位的RSA算法，因此RSA加密还是相当安全的。

据专家测算，攻破512位密钥RSA算法大约需要8个月时间；而一个768位密钥RSA算法在2004年之前无法攻破。现在，在技术上还无法预测攻破具有2048位密钥的RSA加密算法需要多少时间。美国Lotus公司悬赏1亿美元，奖励能破译其Domino产品中1024位密钥的RSA算法的人。从这个意义上说，遵照SET协议开发的电子商务系统是绝对安全的。